Minggu, 16 Januari 2011

SISTIM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Peubah
Persamaan linier dengan dua peubah (variabel) x dan y dapat dituliskan dalam bentuk

dengan a, b, dan c bilangan real.
Persamaan tersebut mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian dalam bentuk pasangan bilangan berurutan (x, y). sedangkan yang dimaksud dengan sistem persamaan dengan dua peubah, yang sering disingkat dengan sistem persamaan adalah pasangan persamaan linier:


dengan dalam R.
penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah pasangan berurutan yang memenuhi kedua pasangan tersebut.
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan
1. Metode Grafik
Salah satu metode penyelesaian sistem persamaan adalah dengan metode grafik yaitu dengan membaca (menaksir) titik potong kedua garis pada bidang Cartesius (jika memiliki titik potong).
2. Metode Substitusi
Jika penyelesaian sistem persamaan adalah pasangan bilangan berurutan yang relatif besar atau tidak memuat bilangan bulat, maka metode grafik tidak dapat digunakan dengan baik. Beberapa metode aljabar akan akurat jika digunakan untuk mencari penyelesaian dari persamaan dari semacam itu. Salah satu dari metode itu adalah metode substitusi.
Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan metode substitusi adalah sebagai berikut:
a. Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk y = ax + b (atau x = my + n).
b. Substitusikan y (atau x) pada langkah pertama ke persamaan yang lain.
c. Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mendapatkan nilai atau
d. Substitusikan nilai atau ke salah satu persamaan linier untuk memperoleh nilai atau
e. Penyelesaiannya adalah
3. Metode Eliminasi
Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dengan metode eliminasi sebenarnya lebih mengandalkan skema eliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabelnya (x atau y) pada kedua persamaan kemudian kedua persamaan tersebut ditambahkan atau dikurangi sesuai kebutuhannya.
Penyelesaian dengan metode eliminasi menggunakan lengkah-langkah sebagai berikut.
a. Kalikan masing-masing persamaan dengan bilangan tertentu sehingga koefisien salah satu peubah (x atau y) pada kedua persamaan sama.
b. Jumlahkan atau kurangkan persamaan yang satu dengan yang lain sehingga salah satu peubah menjadi nol.
c. Setelah kita dapatkan sistem persamaan yang sederhana, tentukan nilai peubah tersebut.
4. Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi untuk menemukan nilai dari variabel pertama dan metode substitusi untuk menemukan nilai variabel kedua. Langkah-langkah metode gabungan ini yaitu dengan metode eliminasi temukan nilai salah satu dari variabel x dan y dan substitusikan ke salah satu persamaan linier nilai x atau y yang telah diperoleh pada langkah pertama.

Minggu, 09 Januari 2011

PERSAMAAN GARIS LURUS

A. Koordinat Cartesius
Persamaan garis merupakan persamaan linier yang mengandung satu atau dua variable. Persamaan garis mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Bentuk eksplisit y = mx +c
Bentuk implicit Ax + Bx + c = 0
Grafik dari persamaan garis ini berupa garis lurus, dan selanjutnya disebut sebagai garis saja.
B. Gradient (kemiringan)suatu garis lurus
Gradient suatu garis adalah kemiringan garis terhadap sumbu mendatar.
a. Garis dengan gradien positif
Garis dengan gradien positif mempunyai kemiringan dari dasar kiri menuju puncak kanan yang naik dengan kenaikan yang stabil (tetap)
b. Garis dengan gradien negative
Garis dengan gradien negatif mempunyai kemiringan dari puncak kiri menuju dasar kanan yang naik dengan kenaikan yang stabil (tetap)
c. Gradien suatu garis yang melalui pusat O(0,0) dan titik
Gradien suatu garis yang melalui titik asal O(0, 0) dan titik sembarang
dapat ditentukan nilainya dengan membandingkan komponen y (ordinat) dan komponen x (absis) dari titik sembarang tersebut.
Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecil m :

d. Gradien garis yang melalui titik dan
Diberikan garis l, pilih dua titik sembarang dan ,pada garis tersebut, maka akan diperoleh gradien garis l yang ditentukan oleh:

C. Kedudukan dua garis lurus
a. Dua garis berimpit
Dua buah garis dan dikatakan saling berimpit jika memenuhi persyaratan

Untuk persamaan garis yang berbentuk dan dikatakan berimpit apabila dan
b. Dua garis sejajar
Dua garis dikatakan sejajar apabila
c. Dua garis saling tegak lurus
Dua garis dikatakan tegak lurus apabila memenuhi
d. Dua garis saling berpotongan
Dua garis saling berpotongan apabila kedua garis itu tidak berimpit ataupun saling sejajar. Secara matematis dapat dikatakan dua garis saling berpotongan apabila

D. Membuat persamaan garis lurus
a. Persamaan garis yang melalui titik (a, b) dengan gradien m
Persamaan garis melalui titik (a, b) dengan gradien m ditentukan oleh rumus:

b. Persamaan garis yang melalui titik dan
Berdasarkan rumus maka rumus gradien menjadi
Kedua unsur dan gradien disubtitusikan ke persamaan,
sehingga menjadi

OPERASI ALJABAR

A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.
1. 2pq
2. 5x+4
3. 2x + 3y –5
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.
a. Sifat Komutatif
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil
Perkalian Bentuk Aljabar
Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:
Perpangkatan Bentuk Aljabar
Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut
Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.
Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a.
b.
c.
Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)=(a + b)a + (a + b)b
=a2 + ab + ab + b2
=a2 + 2ab + b2
Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai:
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
=(a – b)a + (a – b)(–b)
=a2 – ab – ab + b2
=a2 – 2ab + b2
Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut.
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (menggunakan cara skema)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (suku yang sejenis dikelompokkan)
= a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3 (operasikan suku-suku sejenis)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)2, (a + b)3, dan (a + b)4, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.
Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut:
Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 dan seterusnya.
Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar
Pemfaktoran dengan Sifat Distributif
Di Sekolah Dasar, kamu tentu telah mempelajari cara memfaktorkan suatu bilangan. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay.
Selisih Dua Kuadrat
Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).
Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat
Pemfaktoran Bentuk Kuadrat
a. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + qx + px + pq
= x2 + (p + q)x + pq
Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.

Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.
b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1.
Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + 3) (2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3
= 2x2 + 7x + 3
Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3 (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu pilih ( x + 6x )
= (2x2 + x) + (6x + 3)
= x(2x + 1) + 3(2x + 1) (Faktorkan menggunakan sifat distributif)
= (x + 3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.
1. Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c).
2. Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif

Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:
Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu.
Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya.
Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka:

Bukti menggunakan segitiga sama


Dari gambar c = d + e Dan dengan mengganti persamaan (1) dan (2):